Introduction à l'algèbre linéaire avec pédagogie et exemples concrets.
Qui sait, c'est peut-être l'occasion d'enfin comprendre ce qui me passait totalement au dessus pendant mes études 😅
Introduction à l'algèbre linéaire avec pédagogie et exemples concrets.
Qui sait, c'est peut-être l'occasion d'enfin comprendre ce qui me passait totalement au dessus pendant mes études 😅
Je viens de lire un truc super intéressant sur les nouvelles capacités de nos chers LLM qui devrait changer pas mal de choses aussi bien pour les scientifiques, que les développeurs ou n’importe qui, cherchant à faire du “neuf” avec les IA.
Moran Feldman et Amin Karbasi, deux chercheurs de l’université de Haifa et de Cisco Foundation AI, ont eu l’idée géniale de créer ce qu’ils appellent le “test de Gödel” . Un nom chelou mais qui cache l’idée suivante : est-ce qu’une IA peut résoudre des conjectures mathématiques encore jamais publiées ?
C’est à dire des trucs tellement nouveaux qu’elle ne peut pas les avoir mémorisés pendant son entraînement. Pour tester cela, nos chercheurs ont balancé cinq conjectures (des problèmes d’optimisation combinatoire qu’ils avaient spécialement concoctés pour l’occasion) à GPT-5 Pro, et là, surprise !!!
Sur le deuxième problème, GPT-5 Pro ne s’est pas contenté de chercher une solution. Le modèle a carrément réfuté leur conjecture originale en trouvant une meilleure approche qui, après vérification, s’est avérée correcte.
Et c’est exactement ce que Sebastian Bubeck, passé récemment de Microsoft à OpenAI, a observé aussi de son côté. Il a donné à GPT-5 Pro un problème ouvert d’optimisation convexe, un truc sur lequel les humains planchaient depuis un bon moment… Le modèle a alors réfléchi 17 minutes et a pondu une solution d’optimisation convexe valide et encore jamais trouvée. Bon, entre-temps des humains avaient déjà trouvé plus efficace, mais l’IA n’était pas au courant et a fait sa propre découverte indépendamment.
Les IA commencent donc à développer ce qu’on pourrait appeler un “esprit critique computationnel”. Elles ne se contentent plus de chercher LA solution qu’on leur demande, mais évaluent la pertinence même de la question.
Le test de Gödel révèle d’ailleurs les limites actuelles de façon assez claire car sur les cinq problèmes, GPT-5 Pro en a résolu trois correctement (enfin, presque correctement, avec quelques erreurs mineures). Le quatrième problème, qui nécessitait de combiner des data de deux papiers scientifiques différents a été un échec total. Et pour le cinquième, encore plus complexe, GPT-5 a proposé le même algorithme que les chercheurs avaient en tête mais s’est planté dans son analyse.
Selon l’étude , les preuves incorrectes “paraissaient initialement plausibles et même convaincantes” et ce n’est qu’après un examen détaillé que les failles profondes du raisonnement sont apparues. Comme d’hab, l’IA peut dire de la merde mais avec un tel aplomb qu’on aurait tendance à la croire, un peu comme un politique français qui témoigne sous serment.
Cette année 2025 marque vraiment un tournant dans les maths par IA. L’armée américaine, via la DARPA, a lancé le programme expMath qui vise carrément à créer des “co-auteurs IA” pour les mathématiciens. Des chercheurs de Caltech utilisent l’IA pour s’attaquer à la conjecture d’Andrews-Curtis, un problème de théorie des groupes vieux de 60 ans. Google Deepmind a découvert de nouvelles solutions à des problèmes de dynamique des fluides . Et, GPT-5 décroche même des médailles d’or aux Olympiades Internationales de Mathématiques.
On est bien sûr encore loin de remplacer les mathématiciens par des IA mais on s’approche de plus en plus d’outils capables d’accompagner, de challenger, de contredire ou de reformuler certains problèmes sans forcement recracher la soupe qu’on leur a servi lors de leur entrainement initial. Bref, l’IA semble être capable, en tout cas en maths, de faire preuve d’un peu (un peu seulement !!) de créativité grâce à son analyse de plus en plus fine des problèmes.
Je me demande maintenant si avec GPT-5 Pro, on peut accéder aussi à cet embryon de créativité pour d’autres choses plus quotidiennes, comme du code, ou des problèmes de la vie de tous les jours… Faudra tester !
Le Frido est un livre de mathématique libre initialement destiné à l'agrégation, mais devenu généraliste. En supposant connue une théorie intuitive des ensembles, ça va jusqu'aux martingales, distributions, extensions de corps, etc. Avec toutes les démonstration intermédiaires (modulo les 981 entrées restantes dans ma liste de choses à faire).
Les résultats sont classés par ordre logique mathématique : chaque démonstration ne s'appuie que sur des résultats énoncés et démontrés plus haut. C'est loin d'être l'ordre pédagogique.
L'extension guilietta donne le reste de ce que je sais en math : groupes de Lie (l'objectif est de donner la liste des représentations de ).
Le bouquin vient de dépasser les 3000 pages cette année.
). Formellement, ça rend correcte pour un groupe de Lie l'idée de prendre des cartes depuis l'algèbre de Lie. En pratique, ça permet aussi de prendre des cartes depuis le produit tensoriel des fibres pour prendre le produit tensoriel de fibrés vectoriels. Si on n'accepte que des cartes depuis des ouverts de , il faut prendre un isomorphisme (pas canonique) entre et le produit tensoriel, et montrer qu'en réalité rien ne dépend de ce choix. L'inconvénient est qu'on ne peut plus parler de l'ensemble des cartes.Quand j'écris une démonstration, soit je cherche un peu par moi-même, soit je cherche sur internet. Quand je trouve un texte qui me semble correct, je commence par rédiger sur du papier de brouillon; la plupart du temps j'ajoute beaucoup de détails par rapport à ce que je lis. En particulier, j'écris sur mon papier de brouillon les labels (dans le Frido) des résultats à citer.
Quand ma démonstration est terminée, je copie des feuilles vers LaTeX. Chaque démonstration passe donc par (au moins) deux rédactions personnelles : une de l'écran vers le papier de brouillon et une du papier vers LaTeX.
Ce flot est valable également quand je demande à ChatGPT. Ce dernier est maintenant crédité comme source dans neuf démonstrations. Parfois seul parfois en collaboration avec moi ou d'autres sources. Je ne copie-colle jamais un résultat.
Avant de demander à ChatGPT, je regarde d'abord pas mal sur internet ; et je me demande parfois pourquoi d'ailleurs.
Lorsque je ne trouve pas une démonstration en ligne, je demande souvent sur Stack. Et parfois je n'ai pas de réponses satisfaisantes.
Je demande si il est vrai que tout ensemble Dedekin-fini totalement ordonné a un maximum.
À mon avis la preuve donnée par Asaf Karagila (et qui a 5 votes positifs) a au moins un trou ; j'explique dans les commentaires ce qui ne me va pas. Si vous avez une idée de comment compléter, n'hésitez pas.
Voici une question qui lie connexité et espaces totalement normaux. Je ne suis pas certain que l'énoncé soit même vrai.
Si vous êtes douées en topologie, lâchez-vous.
À chaque fois que je dois poser une question sur Stack ou à ChatGPT, je ne peux pas m'empêcher de penser que soit je suis nul en recherche sur Internet (c'est le cas), soit l'ensemble de la communauté mathématique a échoué à mettre en ligne des résultats importants.
Le Frido cite toutes ses sources, théorème par théorème. À côté de chaque énoncé, il y a une liste des endroits où j'ai trouvé des informations utiles soit pour l'énoncé soit pour la démonstration.
La référence [1] signifie qu'il y a de l'invention personnelle non triviale. C'est moi qui ai inventé (une partie de) soit de l'énoncé, soit de la preuve.
Dans le monde de l'enseignement académique, le plagiat massif est la norme. Par exemple, le dernier en date que j'ai utilisé cite cinq livres en avouant ouvertement que ce n'est pas complet. Et bien entendu, il ne dit pas quelle partie de son texte vient d'où.
En ne remontant ma bibliographie pas plus loin que juillet 2025, je trouve celui-ci qui ne cite aucune source. Si un étudiant avait fait ça dans un mémoire de licence, il aurait été engueulé comme du poisson pourri.
Les mathématiciens professionnels ne citent pratiquement jamais Wikipédia ou math.stackexchange.com. Le Frido oui.
La bibliographie sert à remercier la personne qui a fait l'effort de me rendre l'information disponible.
En ce qui me concerne, la bibliographie ne sert pas à :
Développons
chatGPT n'est pas un cas particulier.
Si c'est l'entreprise OpenAI qui a fait l'effort de mettre une information disponible pour moi, c'est elle que je cite. C'est bien l'entreprise OpenAI qui a la citation, pas chatGPT lui-même en tant que "personne". Cela est à mettre en relief par rapport au cas de cette réponse où je cite bien la personne qui a écrit et non l'entreprise derrière stack.
Que OpenAI elle-même soit incapable de citer les sources sur lesquelles elle base sa réponse est — dans mon contexte — un non-problème. En effet, je serais moi-même incapable de vous dire d'où je connais le paradoxe de Zénon, la définition de la continuité ou la démonstration de la formule . Ce sont des informations qui sont codées dans mon cerveau. Je suis capable de vous les dire, mais pas de faire de citations de mes sources.
Ce n'est pas un cas particulier.
En remontant ma biblio jusqu'à janvier 2025, je trouve cet intéressant exemple : ma question sur math.stackexchange à propos de variétés analytiques.
Voici l'ordre dans lequel se sont passées les choses.
Question : à qui suis-je supposé donner le crédit de la démonstration ?
Ma réponse : à OpenAI.
Au final, la communauté mathématique a échoué à mettre en ligne un énoncé et une démonstration correcte de «tout groupe de Lie est analytique».
Ensuite la communauté mathématique a échoué à répondre à une question sur stackexchange.
Au final c'est un échec retentissant pour l'ensemble de la communauté mathématique.
En réalité la question de savoir si OpenAI mérite une entrée dans ma biblio est une question très accessoire. Il y a un problème de publication scientifique largement en amont.
Bon. ok. ChatGPT est un cas particulier. Le plus souvent quand je demande à chatGPT c'est que j'ai déjà fait des recherches sur Internet et souvent également demandé sur stack sans avoir de réponses utiles.
Donc quand je cite chatGPT, c'est un signe que l'ensemble de la communauté mathématique a échoué dans sa mission de mettre la connaissance correctement en ligne.
Mettons une mathématicienne (nommons-la Alice) ayant écrit un résultat dans un livre privateur. Supposons qu'elle retrouve ce résultat dans le Frido avec chatGPT comme source. Est-elle en droit de râler ?
Étudions la question.
Bref.
Qu'il y ait un problème dans la chaîne "livre privateur -> openAI -> moi" est possible.
Mais le vrai problème de mon point de vue est largement en amont. Pourquoi il y avait un livre privateur à la base ?
Les images de couverture proviennent de Pepper et Carrot.
On parlait de tikz dans un fil sur typst.
Le Frido fait ses figures avec yanntricks, un module python basé sur sage. Le principe est qu'on décrit sa figure en python, puis le code Tikz est généré automatiquement. Pratiquement tout ce qui est calculable en python/sage est traçable.
Il y a deux idées de base :
Tout est ramené à des points et segments de droites. Écrivez en python une fonction ma_fonction qui prend un réel et retourne un point, passez cette fonction au constructeur ma_courbe=CustomGraph(ma_fonction), et hop ma_courbe.code_tikz() est le code tikz d'une série de segments de droites qui donnera votre courbe.
Le code Tikz créé contient du code LaTeX écrivant dans un fichier la taille des boîtes (bounding box) des éléments LaTeX que vous insérez, de telle sorte qu'en deux passes, yanntricks soit au courant des tailles (ça marche avec tous les compteurs internes de LaTeX; vous pouvez donc tenir compte du numéro de la page courante dans votre image). Cela permet de faire :
Connexion
C = Cirle(Point(2,1),4) #cercle de centre (2,1) et de rayon 4
C.put_mark($\omega-x$, 30) # placer $\omega-x$ sur le cercle à un angle 30 degrés
C.tikz_code()Le code tikz produit mettra automatiquement à la bonne place pour que le centre de la boîte soit sur le rayon qui fait un angle de 30 degrés avec l'horizontale, et assez loin pour que la boîte ne coupe pas le cercle.
Très peu de changements sont nécessaires pour générer le code pstricks ou tikz ou quoi que ce soit d'autre : seulement les droites, points et quelque trucs de base. Pas besoin des cercles, courbes, etc.
L'inconvénient de yanntricks est que le code est une usine à gaz que j'ai développé par à coups pendant une dizaine d'années — sans linter, sans annotations de types et sans rigueur. En réalité, le prix du billet d'entrée est absurdement élevé. Tellement que moi-même je ne m'y aventure plus.
Extrait du règlement (dans le rapport), page 42) de l'agrégation :
Durant tout ce temps, elles ou ils ont libre accès […] à leurs
propres ouvrages. Seuls sont autorisés les ouvrages avec un numéro ISBN et jouissant d'une véritable
diffusion commerciale. […] une « diffusion commerciale avérée » est tout autant importante.
[…] Cette restriction est motivée par le principe d'égalité des candidats : les ressources documentaires autorisées doivent être facilement accessibles à tout candidat au concours.
En résumé :
Truc marrant : le point 1 est bizarre, mais est appliqué, tandis que le point 2 est très raisonnable mais n'est pas appliqué. C'est ce qui arrive quand on écrit un règlement en ayant un cas très précis en tête et qu'on ne se rend pas compte que ce qu'on écrit a une portée beaucoup plus large que le seul cas auquel on pense.
Et le pire est que ce règlement n'interdit même pas ce livre qui, si j'ai bien compris, est exactement ce qu'on avait envie de refuser au départ : une pure liste de définitions et d'énoncés de théorèmes classés par leçon.
Avis si vous travaillez dans une prépa agreg : tapez un plan par leçon (avec la démonstration des deux développements), publiez-là sur thebookedition et ensuite bachotez seulement ces leçons avec vos étudiants.
Bref, pour faire plaisir au règlement de l'agreg, le Frido est en vente :
Total : 115,86 euros.
Ironie mise à part, je trouve que l'objectif est évidemment très louable :
« principe d'égalité des candidats : les ressources documentaires autorisées doivent être facilement accessibles à tout candidat au concours.»
Par contre force est de constater que l'accès aux ressources est encore très inégalitaire.
Finalement, si tout était accepté sans aucune restriction, certes certaines auraient accès à quelque documents de plus que les autres. Mais il y a tellement de ressources disponibles que le petit plus qu'un candidat pourrait se procurer n'a aucune chance d'être décisif.
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Dernière mise à jour le 10 septembre 2025 Graphy est un outil en ligne qui permet de créer des graphiques de données facilement et en partie gratuitement. Depuis mon dernier article, cette plateforme a...
L’article Graphy. Un outil en ligne pour créer des graphiques de données le plus facilement du monde est apparu en premier sur Les Outils Tice.
