La dimension spectrale s'est avérée être une observable très informative pour comprendre les propriétés des géométries quantiques dans les approches de la gravité quantique.

Dans la gravité quantique à boucles et sa description par la mousse de spin, il n'a pas été possible jusqu'à présent de calculer la dimension spectrale de l'espace-temps.

Comme première étape vers cet objectif, nous déterminons ici la dimension spectrale de l'espace-temps dans le modèle simplifié de mousse de spin limité aux hypercuboïdes. À l'aide de méthodes Monte Carlo, nous calculons la dimension spectrale pour les sommes d'états sur des configurations de mousse de spin périodiques sur des réseaux infinis.

Pour une périodicité donnée, c'est-à-dire un nombre de degrés de liberté, nous trouvons une gamme d'échelle où une dimension spectrale intermédiaire entre 0 et 4 peut être trouvée, en fonction continue du paramètre du modèle. En partant d'une hypothèse sur le comportement statistique du laplacien, nous pouvons expliquer ces résultats de manière analytique. Cela nous permet de prendre la limite thermodynamique d'une grande périodicité et de trouver une transition de phase d'un régime d'espace-temps effectivement zéro dimensionnel à un espace-temps à quatre dimensions.

Au point de transition de phase, la dynamique du modèle est invariante d'échelle, ce qui peut être considéré comme une restauration de l'invariance de diffeomorphisme de l'espace plat. En considérant la dimension spectrale comme un paramètre d'ordre pour la renormalisation, nous trouvons également un flux de groupe de renormalisation vers ce point. S'agissant du premier cas d'émergence d'un espace-temps à quatre dimensions dans un modèle de mousse de spin, les propriétés responsables de ce résultat semblent plutôt génériques. Nous nous attendons donc à des résultats similaires pour des modèles de mousse de spin plus généraux et moins restrictifs.

Tout comme pour les théories de jauge non abéliennes à couplage fort, les méthodes de réseau discret constituent un outil naturel dans l'étude de la gravité quantique non perturbative. Elles doivent refléter le fait que les degrés de liberté géométriques sont dynamiques et que, par conséquent, la théorie des réseaux doit également être formulée de manière indépendante du contexte. Après avoir résumé l'état actuel des modèles de réseaux covariants discrets pour la gravité quantique à quatre dimensions, je décris une nouvelle classe de modèles de gravité discrets dont le point de départ est une intégrale de chemin sur des géométries d'espace-temps lorentziennes (plutôt qu'euclidiennes). Un certain nombre de résultats intéressants et inattendus ont été obtenus pour ces modèles triangulés dynamiquement en deux et trois dimensions, ce qui fait de la gravité lorentzienne discrète un candidat prometteur pour une théorie non triviale de la gravité quantique.

Dans cette étude, nous modélisons un réseau de spins dans la gravité quantique à boucles comme un réseau tétraédrique régulier, en appliquant des techniques de physique des réseaux pour étudier sa structure et la dynamique de ses sommets.

À l'aide de la valeur propre de l'aire, A∝8πl2P, nous dérivons une constante de réseau a=2,707lP et construisons un hamiltonien de sommet intégrant un potentiel de Lennard-Jones, une énergie de point zéro et des oscillations harmoniques simples.

Une approche de feuilletage applique la contrainte de Wheeler-DeWitt via des hamiltoniens localement non nuls qui s'annulent globalement.

Les perturbations de type graviton (traitées ici comme des bosons de spin 0) modifient le spectre d'énergie des sommets, l'analyse variationnelle suggérant douze excitations cohérentes par sommet. Ce modèle considère l'espace-temps plat comme un réseau riche en gravitons tout en imposant une image stochastique de type brownien pour les gravitons, et offre une base pour une extension vers des géométries quantiques courbes.